Seis grados de separación

Estoy leyendo el libro «Linked: The New Science of Networking«, de Albert-László Barabási. Fantástico. Muy recomendable (imprescindible, diría yo) si te interesan saber más cosas de cómo funcionan las redes sociales y modelos matemáticos que permiten estudiar y demostrar sus propiedades. Uno de los apartados hace referencia a la teoría de los seis grados de separación, explicando realmente en qué consiste. ¿No lo habías oído nunca? La idea es esta: las personas que conozco están a un grado de separación de mi. Los amigos de mis amigos estarían a 2 grados. Y así hasta el infinito. Bueno, no tanto, porque esta teoría establece que el grado de separación que existe entre dos personas cualesquiera es de 6.

Aunque tampoco exactamente. Esta teoría tiene también algo de leyenda urbana, pero en el libro queda muy claro. Es algo de lo que suelo hablar al comentar la estructura de Internet, así que aprovecho y lo escribo para cuando me haga falta.

La primera referencia (al menos de la que se tiene constancia) corresponde a un escritor húngaro, Frigyes Karinthy, en un relato corto titulado Láncszemek (Cadenas) publicado en 1929. En él acaba sugiriendo que la distancia entre dos personas es como máximo de cinco.

Este concepto no vuelve a aparecer hasta 1967 de la mano del psicólogo Stanley Milgram, quien realizó un experimento para conocer cuál podía ser la distancia real entre dos estadounidenses cualquiera (por entonces se estimaba que sería al menos de 100 intermediarios). Milgram trató de hacer llegar 160 cartas desde personas elegidas al azar hasta dos personas que él conocía. Las instrucciones eran aproximadamente estas: si conoces de primera mano a esta persona, envíale la carta. Si no la conoces, envíala a alguien que conozcas que pienses que puede estar más cerca que tú de conocer al destinatario. A los pocos días llegó la primera carta ¡con sólo 2 enlaces! Al final, 42 de las 160 cartas llegaron a su destino con un máximo de 12 enlaces. El número medio fue de 5’5 enlaces. Sorprendentemente cercano a los 5 enlaces que había sugerido Karinthy.

Pero ninguno de los dos usó el término de «grados de separación». Éste se debe al dramaturgo John Guare, que lo usó como título de una de sus obras: Seis grados de separación, escrita en 1991. Guare extendió los 6 grados a todo el mundo, no sólo a los Estados Unidos, con lo que el mito había nacido.

Sin embargo, a pesar de que parezca poco (6 grados para 6.000 millones de personas) es realmente un máximo. Vamos a hacer una prueba sencilla. ¿Cuántas personas puedes conocer a lo largo de tu vida? ¿200? ¿5000? Nos quedaremos con el bajo y supondremos que, de media, todos conocemos al menos a 200 personas. Eso significa que estamos a 1 grado de 200 personas. Y si cada uno de ellos está a su vez a 1 grado de otros 200, estaremos a 2 grados de . Y si seguimos así, estamos a 3 grados de , a 4 grados de o a 5 grados de .

Como puedes ver, ya hemos sobrepasado la población mundial. Este cálculo no es exacto: eso de hablar de medias de amigos no suele ser verdad, pero es una buena aproximación. Y si 200 te parecen muchos, prueba con números más pequeños. Te sorprenderá lo rápido que llegas a los 6.000 millones. De hecho, para garantizar que hay un enlace entre dos personas es suficiente con que haya de media tantos enlaces como personas: algo garantizado por el caprichoso sistema de reproducción de los mamíferos ;-)

Y ¿qué me dices de la web? El propio Barabási lo calculó usando los enlaces de la web de la Universidad de Notre Dame. Llegó a una distancia de 11 entre cualquier par de páginas de la universidad. Y extrapolando a la web completa, a una distancia de unos 19 grados de separación entre las páginas web enlazables que existen en la actualidad.

En general, la distancia máxima entre dos nodos (personas, páginas web…) se puede calcular con la fórmula

donde d es la distancia, N el número de nodos (personas o páginas) y k el número medio de enlaces. La presencia de los logaritmos en la fórmula explica porqué al extrapolar la web de la Univ. de Notre Dame a toda la web (unas 3000 veces mayor) el resultado varía tan poco: los logaritmos hacen que aunque aumente mucho el número de N o de k afecte poco al resultado.

Esta fórmula, junto con toda la teoría de grafos aleatorios, se la debemos a Paul Erdös, un conocido matemático también muy vinculado a las redes sociales y a los grados de separación. Lleva su nombre el número Erdös, originado en un estudio sobre los coautores que habían publicado algún artículo con él.

A lo largo de su vida, Erdös publicó 1500 artículos (eso sí que es un salto cualitativo) con 507 autores. La comunidad científica también forma una red social sobre la que es relativamente sencillo realizar estudios, pues la coautoría de artículos es algo que hoy queda registrado en bases de datos de acceso público. El número Erdös mide la distancia de haber sido coautor con Paul Erdös. Y, de nuevo, no es algo tan lejano. Eistein tiene un número Erdös de 2, Stephen Hawking de 3, Andrew S. Tanenbaum o Alan Turing tienen números de 5. Así que yo debo estar bastante lejos.

¿O no? Casualmente, una compañera de departamento, María Alpuente tiene un número Erdös de 4 y Santiago Escobar, otro compañero ¡tiene un 3!, así que el mío no debe pasar de 6. ¡¡Qué pequeño son los small worlds!!