Vivimos en un mundo complejo, somos cada vez más gente, pero aún así seguimos teniendo la sensación de que el mundo es un pañuelo, de que hay casualidades que no se pueden explicar solo por azar… o eso creemos.
Posiblemente te suene la teoría de los seis grados se separación: aquello de que podemos llegar a cualquier persona del planeta en una media de seis pasos. Es un concepto que ya aparece en el relato Cadenas escrito por Frigyes Karinthy en 1929, casi cuarenta años antes del famoso experimento de Stanley Milgram. En él, Karinthy habla de 5 pasos, aunque claro, la población mundial a principios del siglo XX eran unos 1 500 millones.
Pero la efeméride a la que me refiero no es esta, sino una algo más reciente. Y es que, aunque se conocía este efecto, no se acababa de entender porqué se producía ni se podía simular en el laboratorio. Los ordenadores no eran suficientemente potentes como para construir grafos (redes) tan grandes y casi siempre se empleaban redes aleatorias: es decir, que las conexiones entre dos personas se establecían al azar y cualquier pareja tenía la misma probabilidad de producirse. Pero entonces, ¿cómo es posible que aparezcan estos caminos tan cortos entre varios miles de millones de personas? Y el más difícil todavía: ¿cómo es que somos capaces de encontrar estos caminos cortos?
En junio de 1998, el profesor Steven Strogatz y Ducan Watts, que en aquel entonces era alumno suyo, publicaron un artículo en el que proponían una solución. El modelo lleva su nombre: Watts-Strogatz, y se considera uno de los trabajos fundamentales en la teoría de las redes complejas. ¿Por qué es tan importante? Porque esta característica: el fenómeno de mundo pequeño, se ha observado en multitud de redes reales: Internet, redes tróficas, la estructura del cerebro, redes eléctricas, las conexiones entre aeropuertos, las relaciones entre genes o proteínas… en todas ellas aparece esta caracteristica. Por eso es tan importante tener un mecanismo sencillo para construir modelos simples en los que poder replicar estas propiedades y experimentar con ellos.
Lo que descubrieron es que ser un mundo pequeño depende de dos factores. El primero es tener caminos cortos. Recuerda, una red está formada por nodos, que representan entidades del mundo real (páginas web, aeropuertos, personas, presas, genes…) y se conectan por parejas si hay alguna relación directa entre ellos (un avión que vuela de uno a otro, por ejemplo). Se llama camino a una ruta entre dos nodos cualquiera, como en un mapa de carreteras. Y en las redes de mundo pequeño, los caminos son cortos, sorprendentemente cortos para el tamaño de la red.
La segunda propiedad es la transitividad (clustering en inglés), y es el término formal para decir que los amigos de mis amigos son mis amigos. Si un nodo A está conectado a otros dos nodos B y C, también hay un enlace directo entre B y C. Intuitivamente, A, B y C forman un triángulo y la transitividad es una medida de cuántos triángulos de todos los posibles hay en la red.
Ahora bien, ¿cómo podemos construir una red que tenga estas propiedades? Y aquí llega la gran aportación: depende de un único parámetro. Vamos a ver cómo se construyen. Empezamos con una red conectada en un anillo: cada nodo con el siguiente, y se cierra el ciclo uniendo el último con el primero. ¿Lo tienes? Muy bien, pues ahora, añade a cada nodo dos enlaces más, a los vecinos de tus vecinos (uno a la izquierda y otro a la derecha). Te quedará una red como la de la figura. ¿Qué hemos conseguido? Una red con una transitividad muy alta, porque hemos forzado esos triángulos (aunque en la imagen se vean como arcos, créeme, son triángulos). Sin embargo, los caminos son bastante largos. Si quieres ir de un extremo a otro, tienes que pasar por la mitad de los nodos. Bueno, por la cuarta parte, que puedes saltar de dos en dos. ¿Qué ocurre en una red de 1000 nodos? ¡Que necesitas 250 pasos! 250 grados de separación: es una barbaridad.
Ahora, elige al azar uno de los enlaces, bórralo y a cambio une otros dos nodos al azar, los que tú quieras. Si te das cuenta, acabas de crear un atajo. Si repites esto muchas veces, llega un punto en el que todos los caminos se acortan. Pero ojo, no hay que pasarse.
¿Qué ocurre si cambiamos todos los nodos? Pues que tenemos una red aleatoria, con las relaciones al azar, y hemos roto todos los triángulos: ya no tenemos un mundo pequeño.
Lo grande del modelo de Watts-Strogatz es que hay un momento en el que conseguimos acortar los caminos sin romper los triangulos, y que es un punto bastante común independientemente de la red. Cuando cambiamos más o menos el 3% de los enlaces, tenemos una red de mundo pequeño con la que experimentar. Eso es lo que muestra la gráfica: en torno al 0.03, la línea superior se mantiene arriba (C – transitividad alta) y la línea inferior está casi al mínimo (L – caminos cortos).
Así que, ya sabes, la próxima vez que te des cuenta de que el mundo es un pañuelo, puedes tratar de buscar las conexiones y te darás cuenta de que eso del destino, como en la magia, tiene truco.
Esta entrada forma parte de #Polivulgadores de Café Hypatia en su edición de junio de 2023, con el tema «Efemérides«.
Para saber más
Watts DJ, Strogatz SH (June 1998). «Collective dynamics of ‘small-world’ networks«. Nature. 393 (6684): 440–2
Watts, D. Seis grados de separación. la ciencia de las redes en la era del acceso. Paidos Ibnérica (2006)